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読書百遍 其義自見
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この樹形図は、これまで機械論で考察してきた概念をおおよそ網羅している。ざっと見て不明な言葉があるなら過去の記事を参照すべきだ。
ただしこれは概念間の関係を余すところなく表現しているわけではない。例えば情報の具体・抽象性の意義は、厳密には「位相による連続性」と「情報」の複合概念によって示される。(位相としての性質を持つ集合系自体は個々の元の考慮を必要としないことに注意!)
この図はあくまでも形式的な関係性を示しているに過ぎないということだ。

今回の記事で主題となる概念を赤字で示した。これを中心に、周辺概念を含めた複合概念を考察していく。



§1 概念の一般性そのものについての解釈

この樹形図を利用した考察について、2つの有意義なアプローチがある。

一つに、一般性による親子関係についての考察。
これは一般的な概念として表される性質が個別的な概念でどのように具現化されるか、あるいは個別的な概念が一般的な概念にとってどのような意義を持つか、という考察である。
例えば連続性は感覚という形で、軸や副体に対する意義を持っている。

もう一つは、異なる親に属する概念の重ね合わせについての考察。
位相による連続性を持つ副体間の干渉では、経路に対して情報の変化という意義を与えることが出来る。

このような考察手法はほとんど自明であるがゆえに今まで全く触れていなかったが、機械論による考察については概念の一般性を大いに考慮すべきである。何故なら、一般性による概念同士の関係は、言葉以外の方法によってその概念を明確に定義づけることを可能とするからだ。
ある概念について一般性を逐一把握することによって、これから使用する言葉を言わば指差し確認出来るのである。



§2 「確率」の一般性

連続性は今まで何度も考察してきたから、先に確率性という概念を考えてみよう。

機械論モデルにおける確率的事象とは、複数の事象線の始点または終点が単一の基線に結ぶことであった。
これは干渉の考え方に置き換えれば、複数の干渉の干渉元または干渉先が単一の軸や情報であるということだ。

例えば副体A,B,Xについて干渉A→X,B→Xがあって、軸の一致を考慮しなければ直積を用いて A×B→X と表現される。これが確率的事象であり、機械論において確率性と呼ぶものだ。
これは双対的に、X→A,X→Bである場合も同様に成り立つ。
個別具体的には、情報によっても成り立つ。情報は軸に属する概念であるから、§1で挙げた前者の方法によって同じように理解される。

干渉元を共有する場合は、一見「確率的」というニュアンスには当たらない気がする。Xが定まればA,Bはそれぞれ独立に定まるから、確率的ではないはずだ。
これは、本来「確率」という言葉の持つ意味は作用について考察することで得られるために起こる違和感である。
そして作用はそれ自体に横軸的な広がりを持っている。つまり干渉の連続的な関係性を暗に想定しているという意味だ。
軸の一致を考慮しない干渉ではこの条件が外れるために、確率という意味を持たないように見える。

だから確率性というのは、通常は作用に基づく干渉に定められる概念であると定義するのがいいだろう。



§2.1 確率性の定義

では確率性の定義とは何だろうか?
先に「複数の干渉の干渉元または干渉先が単一の軸や情報であるということ」だと言ったが、軸の一致は個別的な定義によって前提条件とされているから、情報についてだけ考えれば良い。

情報についての干渉の形式的な定義は、集合としての情報の対応関係である。副体A,Bが軸{r_1,r_2,... = r}上で干渉するとき、次のような表現がこの対応関係を定める。

f := { (α,β) | α,β ∈ ∐r }

前に上げた記事と表現は違うかもしれないが、要するに干渉が定義される軸の直和上に定められる二項関係である。
このとき単一の干渉元αに、次のように表される複数の干渉先βが存在することがあり得る。

f(α) := { β | (α,β) ∈ f }

全く同様にして、単一の干渉先βに複数の干渉元αが存在することもあり得る。
これが確率性の形式的な定義だ。

また、ここでは作用を意図する干渉を扱っているから、A→Bと同様にB→Aの干渉も考慮される。
必然的に干渉場X={r}が見いだされ、この干渉はA,B→XとX→A,Bの2つの干渉であると解釈される。
この事実はまさに先の記事で扱った確率的事象に関する一連の論理であって、結局この2つの干渉が確率性を帯びているということになる。

しかしながら確率性を意味的に捉えると、全く違った姿が見えてくる。



§2.2 確率性の意味

§2.1の結論を前提として、次に確率性の意味を考察してみる。

先に挙げた定義を純粋に数学的に考えると、任意の始域A,Bに対して終域Xは明らかに定まる。Xが干渉場であることを考慮すると、これに対する始域はいくつも考えられるから、それを集合族などを用いて一般化する。
式に表せば以下の通りで、始域{Mi}i∈Iに対する終域は存在すれば必ず一意に定まる。

∀i∈I , ∀M∈Mi , Λ(M) = {r1,r2,... = r}
f := { (α,β) | α,β ∈ ∐r }
f({Mi}i∈I) := { β | ∃i∈I , ∃α ∈ Mi , (α,β) ∈ f ) }
ただしΛ(A)は副体Aの持つ軸の集合

このことは確率を全く意味していないように見える。
単一の情報βに対して (α,β) ∈ f のような情報αが複数見出されても、要するに単一の情報βが導かれるだけだ。
しかし機械論には、異なる副体に属する情報は情報として同一であっても異なるという情報に関する原理が存在する。

3行目の定義についてαが情報であることに注意していれば、実は ∃α∈Mi と表さねばならないことに気づくだろう。
今までこの事実を指摘しなかったのは、作用ではなく干渉として見ていたからである。干渉ならばその定義は1対1に一般化して差し支えないから、単に二つの副体の対応関係として表せる。
このような干渉fを作用として受け入れるとき、そこには必然的に複数の副体が絡んでくる。

その場合 (α,β) ∈ f のαをどう解釈すればいいだろうか?
作用fの定義自体が単一のβに複数のαを対応させることもあるが、それよりも複数の副体に属するαが単一の対応(α,β)によって単一のβに対応するという事実は、どう解釈されるのだろうか?

この問題は、いずれの場合も今扱っている一般性の上では解決できない。
結果的に単一の情報βが導かれることになるのだが、それを複数の情報αからどのように導くかは、作用が複数の副体間の干渉を前提とすることを考えれば、全く決定できないのだ。
ただ前者の場合は作用fに個別具体的な定義を与えることによって回避できる点で、後者とは本質的に異なる。

これが確率性の意味だ。だから作用には必ず確率性が見出される
逆にこのように表される一対の確率性が見出されるなら、それは作用である。
確率性による作用の定義は、軸の一致による作用の定義よりも一般的であるように見えるが、結局は情報の集合としての軸の直積によって定義される点では変わらない。

でも結局は単一の情報が導かれるのだから、それは確率性だと言えるのかという疑問が残る。むしろ双対的な場合の方が確率性としてふさわしい気もしてくるだろう。

そう、単一の情報が対象になるから確率らしくないのだ。

もしこのような作用が、創発による複雑性を備えていたら...?



§2.3 確率性と複雑性

最初の図の通り、複雑性は創発に含まれ、それ以外とは独立に定義されている。
つまり確率性と複雑性は重ね合わせて考察することが出来る。

複雑性はあくまでも単一の軸における概念であるから、干渉を前提とする確率性と合わせて論じるためには同じ土台に乗せねばならない。
この場合は確率性を考慮した複雑性か、複雑性を考慮した確率性のような文脈を考えれば良いが、どちらも同じことだ。

確率性は作用を前提とするから、複雑性でも作用を考える。
複雑な副体と単純な副体が同じ空間上で作用することになる。すると必然的にそれらの間には干渉場が見いだされるが、この副体の軸とは何なのだろうか?

軸の一致を前提とする干渉では、軸の直和を取って一般化することが出来た。正確に言えば、そのように解釈していた。
複雑性を考慮する場合にも同じことが言える。
ただし、それは軸の直和という形式的なやり方では少々不都合だ。
複雑性という性質が一般化の際に考慮されねばならないが、そもそも複雑性に関する一般的な定義というものは現時点では与えられていない。

ならば、複雑性の個別具体的な解釈である位相の情報化を代わりに使えばよい。
位相自体も単なる集合であることを考えれば、位相に対して位相を導入することで複雑性を表現できる。
例えば次のような数学的構造は、5段階の複雑性を表現している。

Λ(X) := {r,O1,O2,O3,O4} := {r}

O1rの位相であり、O2O1の位相であるといった連鎖的な関係を表す。
最後に、干渉場Xの軸はこのような位相を持つ一般化された軸rだと解釈すれば良い。
もちろん複数段階の複雑性という風に一般化したければ、代わりに集合族を取ればいいだろう。

これは最も単純な軸から見た場合の定義であるから、実際には自身の情報が他の軸の位相である場合も考慮され、次のような厳密な定義を得る。

∀n∈N⊂N , ∃m∈N( suc(m) = n ) ⇒ On ⊂ ∏Om
Λ(X) := {{On}n∈N} := {O}

まさにこのような軸Oの性質が複雑性の個別的な定義の一つとして成立するのだ。
そこで、この定義のもとで複雑性に確率性の概念を導入する。

確率性の文脈では干渉元や干渉先が一般的にも複数存在することに注意して、複雑性を持つ副体間の作用 f : A→B を考察する。
複雑性を持つ副体というのは、要するに複雑性を持つ軸を持つ副体という意味である。
まずは先に挙げた、確率性の定義を振り返る。

∀i∈I , ∀M∈Mi , Λ(M) = {r1,r2,... = r}
f := { (α,β) | α,β ∈ ∐r }
f({Mi}i∈I) := { β | ∃i∈I , ∃α∈Mi , (α,β) ∈ f ) }

これは一般化された軸r上に定められる作用の定義である。ここでr1,r2自体は複雑性などの個別的な性質を持たない純粋な軸であって、情報α,βは性質として等価である。
rを複雑性の定義にある軸Oに置き換えて、次の定義を得る。

∀i∈I , ∀X∈Xi , Λ(X) = {{On}n∈N} = {O}
f := { (α,β) | α,β ∈ ∐O }
f({Xi}i∈I) := { β | ∃i∈I , ∃α∈Xi , (α,β) ∈ f ) }

対応(α,β)について考察すると、極めて重大な事実を示していることが分かる。

まずα,βは集合族Oの直和の元であるから、それぞれが異なる複雑性を持つ軸の情報であることがあり得る。
その場合、αとβに次のような関係が見いだされることがある。

1. α∈β
2. β∈α

複雑性の定義に On ⊂ ∏(Om) とあるから、例えばα∈O1,β∈O2のような場合に前者が成立することがある。逆の場合には後者が成立する。
さて、ここで対応(α,β)が示す意味とは何であろうか?

前者では単純な情報が複雑な情報に対応している。そのような情報はいくつも見いだされるだろうから、結局これは ({αi},β) と表せる対応なのだ。
後者では同様に (α,{βi}) となる。

ここで ({α1},β),({α2},β) という2つの対応を考えてみる。
それぞれを単独で考えると、単一の情報についての考察と同様、単一の情報βを定める。
しかし一方の対応でα1がβを定めるとき、(このような言い方をしてよければ)α2を巻き込むのである。

実際にはこの2つの対応が同時に作用するのだから、まぎれもなく単一の情報βが定まるとは言えなくなる。
このときα1とα2真に確率的にβを定めるのだ。

もちろん、対応による確率も副体による確率も全く同様に捉えられる。
例えば (α1)∈X1 , (α2)∈X2 のような場合も同様にして、確率的にβを定めると言える。

これまでは始域が複数の副体(情報)からなる場合を考察してきたが、双対的にも全く同様のことが言える。



§3 連続性について

§2.3で位相の情報化を扱ったから、ここで連続性の定義を見直しておこう。

ところで位相の情報化において位相が連続性を表すのだと考えると、不連続な軸に創発や複雑性は定義できないことになるが、これは妥当な解釈だ。
不連続な軸は個々の情報が全く独立した意味を表すのだから、位相による抽象的な意味のようなものを考慮することは一切出来ない。

連続性の最も一般的な(そして意味が通るような)定義は、軸が集合の濃度として連続体濃度を持つ場合とされる。
これはこれで正しいのだが、連続性は他の概念を考慮することで更に深い意義を与えられる。

前に干渉元が連続的なら干渉先にも連続性が見出されるという話をしたが、これは連続性のより一般的な定義を示唆するものではない。言わば純粋な連続性から派生した仮の連続性とでも呼ぶべき概念である。
これは創発による複雑性を持つ軸に対して、いっそう明らかに言える事実である。

位相の包含関係は情報の具体・抽象性を表すのであった。これには自明な連続性として、密着位相が特殊な意味を持つという考察も既に展開した。
情報の具体・抽象性を独立の概念と捉えるなら、その一般的な定義として密着位相が存在するのである。

特に情報の具体性は、干渉の連なりによって少なからず失われる傾向にある。
厳密に言えば、干渉の連なりによって情報そのものが失われ、さらに個別的には経路によって情報の具体性が失われるのである。
ちなみに単なる干渉の連なりで具体性が失われるというのは、最初から干渉がそのような性質を持っている場合のみに言える。

さて、この後の考察で必要となる連続性に関する概念を復習しておいた。
ここまでの論理を追えている読者には(あまりいないだろうが)、考察の方向性が既に朧気ながら見えているのではないだろうか?



§4 経路を考慮する確率性

ある複雑性を持つ軸O={{On}n∈N}があるとき、その複雑性を考慮するような干渉が存在する。このことは作用については自明だが、干渉についても同じことが言える。
そこで、確率性について次のような状態を考えてみよう。

複雑性は個別的には位相の情報化によって成り立つから、それぞれ位相的に同一と見なされるような範囲ごとに独立に確率性が定まると考えるのだ。
位相による情報の具体・抽象性については、要するに同一の具体性(抽象性)を持つ情報の範囲内で確率性が定まると言い換えられる。

もしこのような状態で、ある干渉が抽象的な情報しか考慮しないならば...つまり、同じことだが複雑な情報しか考慮しないならば、それより具体的な情報に対する確率性はどう解釈されるのだろうか?

一つ、具体的な情報についての確率性は抽象的な情報にも影響を与えるという解釈があるだろう。
これは抽象的な情報の干渉のみを考えても、具体的な情報によって確率性を持つという考え方だ。
しかし、これはちょっと不思議な話だ。一体このような確率性をどう定義したら良いのだろうか?いずれにせよ、それは抽象的な情報からすれば全く謎な性質になってしまう。

そこでもう一つ、具体的な場合に確率性が見出されても、抽象的な場合に見いだされなければ確率性は無いという解釈が出てくる。
この解釈は最も抽象的な場合、つまり軸が密着位相を持つ場合でも問題なく適用できる点で、前者より妥当だと言える。

何故なら、干渉が定義されるということは、干渉元に何かしらの情報があって、それを干渉先に伝達することを意味する。
つまり干渉が定義されるならば、干渉先に何かしらの情報が伝達されることは確率によらず明らかなはずである。
ただし実際に干渉元の副体に情報が存在しているかどうかは全く別の問題だ。

軸に位相が定義されているなら、情報全体の集合が(位相の定義からして)必然的に位相に含まれる。
即ち情報全体を表すような抽象的な情報については、必ず確率性は無いと約束されねばならない。
より一般的な言い方をすれば、確率性は情報の具体・抽象性によって相対的に論じられるのである。
後者の解釈はこのような、ある意味で一般的な性質を保っているのだ。

確率性と連続性の接点を確認したところで、最後に経路の概念を導入してみたい。

連続性と経路の接点については既に確認した。それによれば、ある時点で何らかの位相を持つ情報は、経路を辿る過程でその具体性を失う傾向にあるのだった。具体性を失うとは、逆に言えば抽象性を増すということだ。
これが最終的に情報全体を表すほどの抽象性に至るかどうかは分からないが、十分に長い経路を仮定すれば、それに漸近するのである。

ではこの場合、確率性は経路によってどのように変化するだろうか?
情報の具体性は、異なる連続性を持つ副体が一つの副体に干渉する時点で明らかに失われる。それと同時に、抽象性が増す。
従って、経路によって確率性は失われる傾向にあると結論できる。

この結論は何を意味するのだろうか?

確率性が失われるとは、干渉元の情報に対して干渉先の情報がより明確に定まるようになるということである。
これは軸が連続性を持つ場合にはほとんど考慮されない、つまり干渉の全域に渡って確率的であるのだが、連続性を失うにつれて非確率性とでも言うべき性質が現れてくるのだ。
そのような非確率性が自然に現れてくるような状況が、情報の具体性の喪失といった現象によって記述される。

これによって、ある副体への干渉について多くの経路を辿るような副体からの干渉は一般的に確率性を失う傾向にあると説明される。

直感的には、ある副体について干渉によって影響を与え得るような副体とは、直接に干渉が定義されているような干渉元のことである。これは因果的機序について言えば、原因と結果の直接的な関係を指す。
無論その原因となった状態もまた別の原因の結果として解釈され、最終的な結果に影響を与えているのだ。

§3の結論によれば、情報の具体性が失われるのは一般的な観点から見れば干渉そのものではなく経路によるとされている。
これは原因と結果の関係が一直線に連なるだけなら、一般的には最初の原因が最後の結果をまぎれもなく決定できるからだと理解できる。



後記

「確率性」とは、先の記事『機械論モデルの提唱』にて初出の概念である。
機械論によって現実をモデル化する際に確率性を考慮する必要が出てきたことから、まったく説明なしに導入した。
後になって確率性を機械論で厳密に定義する必要性に気づいたので、こうして記事にまとめたのだ。
特に作用と確率性はもはや表裏一体と言っていいほど密接な関係にあることが示されたと思う。

そして今回のもう一つの目的は、概念の一般性に着目した形式的な考察を展開することにあった。
異なる2つの概念は、一方が他方の一般的な概念であるか、あるいは共通の一般的な概念を持つかのどちらかである。
今回は特にこの関係性に注目して、考察の方向性を逐一示してきた。

今年は機械論が現れて以来(まったくつまらないことに)ずっと基礎研究に徹していたから、2018年は機械論の応用工学的な側面を炙り出していきたいと思っている。
炙り出すだけで、具体的な実験まで展開できるかどうかは分からない。だがそういう覚悟はある。

一つ確実に言えるのは、もはやペンライトの理論は応用実験を楽しめる程の余裕を獲得した、ということだ。
ただ応用先は「タルパ機械論」とは名ばかりに、タルパーとしての基礎訓練に注目していくかもしれない。その方がずっと着手しやすいからだ。(正直な所、この命名は失敗だった)
何をするにせよ、今よりはずっと面白くなるだろう。
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