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読書百遍 其義自見
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『タルパ機械論における一般的な概念の発展』の§2.3で不連続性についての情報の変化を説明する際に偶然的な要素、つまり確率性を用いていた。
このような解説をすることになったのは単なる偶然だろうか?あるいは、不連続性と確率性には何か深いかかわりがあるのだろうか?



§1 連続性と不連続性

連続性については今まで考察を重ねてきたが、一方で連続性を持たない不連続性については完全に放置されていた。
ここでは不連続性の性質を軽く考察していく。

連続性の定義から分かるように、不連続性は連続性の双対な場合として得られる概念ではない。
これを明らかにするために、位相によって定義された連続性の双対概念を仮に余連続性として表現してみよう。
まずはそのような連続性を圏における射として、いくぶん欠如的にではあるが表現する。
副体A,Bとそれらの間の干渉について...

A = {r1,r2,... = r} , B = {s1,s2,... = s}, f ∈ F:A→B
∃r⊂r∃s∈s(fα・rn = s)
∀r∈r∃!s∈s(fω・r = s)
∃!xはxが一意に存在することを表す

2行目は副体Aの異なる情報が副体B上で同一の意味として理解されることを示している。位相が連続性の個別的な定義の一つならば、この2行目の条件はそれよりも一般的な連続性の定義として認めることが出来るだろう。
3行目はいわゆる自明な連続性の条件だが、どれだけ簡略化してもこの条件だけは必要である。この条件の機械論における意義は先の記事『機械論における確率性と連続性の関連』の§4で密着位相について考察した通りだ。

次に、圏論における双対原理を適用して余連続性を得る。
副体A,Bとそれらの間の干渉について...

A = {r1,r2,... = r} , B = {s1,s2,... = s}, f ∈ F:B→A
∃s∈s∃r⊂r(fα・s = rn)
∃!s∈s∀r∈r(fω・s = r)

AとB、rとsをそのまま置き換えただけであるが、これは不連続性を意味していない。何故なら、余連続性もまた連続性の1つの観点に過ぎないからだ。
実際、連続性と余連続性はどちらも連続性の一般的な定義、即ち連続体濃度による定義に従っている。より正確には、連続性では干渉元の副体が、余連続性では干渉先の副体が、それぞれ連続体濃度を持ち得る対象として示されている。

ここで干渉Fの始域・終域が単一の情報であることは重要だ。
これに情報の集合を置くことは、干渉そのものの連続性に触れねばならないので、考察が一般性を失ってしまう。

ところで、これは完全に私情であるが、通常は述語論理の記述において" = "はその意味が自明でない限り使うべきでないと思っている。
等号についての公理は一応存在するものの、それには再帰的に定義される全ての項が曖昧になることなく記述されるという隠れた前提がある。
無論、述語論理も論理であるから論理によって構築されねばならず、このような前提を受け入れざるを得ない。
しかし現実を論理に置き換えて考察する際には必ず論理以前の、つまり前論理的な命題を考慮する必要があるが、これを明確な項の組み合わせで記述可能かどうかは全く問われていない。
今回の論理式に" = "を採用したのは、逆にこの事実を利用して論理式が前論理的な内容であることを示すためである。

少し論点がそれたが、要するに不連続性と連続性は全く異なる概念であることが理解できただろう。

ちなみに、まだ考察していないだけで連続性というのは干渉についてもちゃんと考えられる。
位相による連続性を持つ軸については、位相を保たない干渉が即ち不連続的な干渉であることはすぐに分かるだろう。
このような干渉の不連続性軸の不連続性は明確に区別されるべきだ。

例えばサイコロを振って出た目を元に、それぞれある事象が成立すると考える。
このときほとんどの人はサイコロの目の不連続性によって事象にも不連続性が見出されると解釈するだろう。だがそれは誤りだ。
サイコロは物体として考えても、ただ単純に1~6の値を出す抽象機械と考えても、それぞれ異なる形式ではあるが連続性を持っている。

正しい解釈は、サイコロと事象との間の干渉が不連続的であるとすることだ。
この2つの概念の使い分けには注意せねばならない。



§2 不連続性の「理解」

冒頭で引用したように、不連続性の個別具体的な性質は確率性によって理解するのが自然だ。この関係を考察してみよう。
大前提として確率性は連続性を前提としないから、不連続性にも確率性が適用できることは明らかである。

ところで、ある概念を理解するということは、それを個別具体的な概念と結び付けて考えることが出来ている状態を指すだろう。
しかし人間の認識にとって個別具体的な概念はほとんど連続性を持つ概念と同義である。
これは当然だ。先の考察で示されたように、人間の感覚そのものが連続性の個別具体的な概念として定義づけられるのだから。

ということは、不連続性を理解するためには連続性と不連続性を結び付けるような概念を媒介せねばならない。
そしてそれが、本質的に連続性によらず定義されている概念でなければならないことは明白である。
では軸に属する他の概念でどのような説明がなされるか、ここで簡単に述べておく。

創発によって連続性と不連続性が結び付くことはある。位相は連続性に関する概念ではあるが、位相自体が連続的でなければならないとは決まっていないから、そのような創発を考えれば良い。

情報についての考察とは、要するにそれぞれの副体の具体的な様相を完全に理解した上で、あらためてそれらの関係を具体的な観点から考えることである。
これは個々の場合には可能であるが、しかし一般的な考察にとっては扱いづらい方法でもある。
今まで情報そのものを間接的にでも扱ったのは、位相による具体・抽象性ぐらいなものだ。

そして最後に、干渉による方法がある。
軸の一致を許容する型の干渉はいつでも考えることが出来るが、これではヒントが少ない。
代わりに作用について考えると、そこに確率性が現れる。
この際、連続的な側の情報全てを考えるのは面倒であるから、普通はこれに複雑性や情報の抽象性を導入して簡略化する。

つまり連続的な副体と不連続的な副体の干渉は、創発や確率性によって理解されるだろう。
その具体的な方法をさらに考察していく。



§3 不連続性と創発

創発自体によって連続性と不連続性が関連するような状態は、ただ1つしか考えられない。
即ち、連続的な軸が不連続的な軸に創発する場合である。
不連続的な軸の創発も考えられそうだが、軸の複雑性すら考慮することが出来ないとなれば得るものが無い。

複雑性の個別的な定義の1つに、位相を連鎖的に定める集合系によるものがあった。

∀n,m∈N⊂N , suc(m) = n ⇒ On ⊂ ∏Om
Λ(X) := {{On}n∈N} := {O}

前の記事で挙げた定義だが、少し間違っていたので修正しておく。

ここではN段階の複雑性といった感じに一般化している。自然数の部分集合(本当は閉区間としたかった)だから、これは有限である場合も無限である場合も考慮されている。
集合系Oの各元である軸は対応する添字によって全順序的に配列する。つまり、有限であれば最大元が存在する。
そのような最大元は、連続的である場合もあるだろうが、ここで考えたいのは不連続的な場合である。

創発の過程で不連続な軸が現れた場合は、位相を考慮する系ではこれ以上創発が起きないのだから、この軸が自動的に最大元となる。
つまり、ある連続的な軸の創発として見いだされるような不連続な軸は、ただ1つしか存在しない。
厳密に言えば、創発を示す単一の集合系には不連続的な軸は存在すればただ1つであり、かつ最大元である

しかしながら、この結論は当然の事実を指摘したまでである。
不連続的な軸では言わば情報の間の関係性と言うべき概念が全て崩壊してしまう。このような軸に対する干渉は、それまで連続性によって表されていた情報の構造をことごとく破壊するという性質を持つ。
無論このような軸からでも創発を考えること自体は出来るが、それは自然な実体では、つまり因果的機序においては認められない。

連続性を考慮しない創発がこれといった意義を持ち得ないならば、わざわざこの概念を定義する意味がないだろう。
そこで発生を現在の創発に当てて、現在の創発は専ら連続性を前提とする概念として、つまり位相の情報化によって一般的に記述される概念として再定義したい。
現在の発生に当たる概念が捨てられるが、これは全く問題ない。
副体そのものは文脈的には「~として存在する存在者」を意味する言葉であり、それ以上の意義を持たないために、このような概念の発生を一般的に捉えることには何の意味もないからだ。



§4 不連続性と確率性

当然、不連続性でも確率性を考慮することは出来る。
確率性は連続性による意味のようなものを考慮する概念ではないからだ。

まず真っ先に考察せねばならないのは、不連続性を干渉(作用)の土台に乗せるということ。
この際あり得る状況として、以下が挙げられる。

・不連続的な軸から不連続的な軸への干渉
・連続的な軸から不連続的な軸への干渉
・不連続的な軸から連続的な軸への干渉

第一の状況については、ここで考察すべきことはないが、一つだけ指摘しておく。
不連続的な軸では、連続性のようにまとまった情報というのを考えることが出来ない。必然的に先の記事でも触れた通り、これらの間の確率性というのは仮の確率性となる。(言っておくが、ここで言う「確率性」は情報が明確に定まらない性質を言うのであって、「70%で事象Aが起こる」とかいう俗的な意味での「確率」を指すのでは決してない)
これが確率的であるのは、元から干渉元の情報がそれ以前の干渉によって確率性を帯びている場合に限られる。作用は確率性による定義で任意の副体間にまで拡張されたから、このような考察が可能だ。
そして、まさにこれが第二の状況を示している。

第二の状況では干渉元が連続的であるので、複雑性を考慮することが出来る。そのような場合には、干渉先が不連続的であっても真に確率的であると言える。具体的な確率性の定義については先の記事で詳しく考察した通りだ。
しかし干渉先が不連続的な軸である場合には、さらに考慮せねばならない問題が潜んでいる。

不連続的であるということは、個々の情報がまったく独立な意味を持つことになるので、これが連続的な軸から干渉される場合もそこに何らかの意味を見出すことは全く不可能である。
これは、不連続性が絡む干渉の具体的な様相はまったく個別的な状況においてのみ決定されると言うことが出来る。
逆に言えば、一般的な状況においては干渉によって生じる個々の情報を決定することが出来ないということであり、これもまた確率性を保証している。

そして第三の状況は、第二の双対的な場合として同様に理解される。そもそも干渉は作用について定義されている、つまり可換的に定義されているから、双対を取っても確率性は変わらない。
一つ考察するとすれば、ある軸が不連続的な軸から干渉を受けるとすれば、この軸に続く以降の干渉には全て確率性が見出されることになる。

これで連続的な軸と不連続的な軸の間には自然に確率的な干渉が見いだされる機構を説明し得ただろう。

最後に、俗的な意味での確率が機械論上で何を意味するのか、簡単に触れておきたい。
「俗的な」というのは、日常的に例えば「明日は30%の確率で雨が降る」などと言うときのパーセント値のことである。
このような確率は、既に発生した同様の事象からは統計的に導き出すことが出来るだろう。既に発生したというのは既に干渉によって情報が伝わったことを意味しており、その際の情報を観測することで、先に挙げたまったく個別的な状況を得ることが出来るからだ。

即ち、パーセント値は結果論としてのみ意味を持つのである。より正確に言えば、形式的に結果として記述されることによって意味を持つと表現できる。
実際にはパーセント値が事前に提出されることがあるが、そのような値は形式的に結果として記述されるからこそ事実的な根拠を持ち得るのである。

巨大地震の発生確率や火山が噴火する確率などは、そのような形式を持たないために事実的な根拠はない。これらはあくまでも机上の計算なのだ。
逆にコイントスで表が出る確率は事実的な根拠を持ちうる。何回も試行すれば、表が出る確率をそれらの結果から導き出し、形式的に結果として記述することが出来る。
例えば表の出る確率が1%だと言うのなら、100回連続で表が出ることはあまり考えられないが、このとき「100回試行すれば1回は裏が出るだろう」というように、既に発生した結果として解釈することが可能である。

この解釈は、確率性を持たない干渉においては原因から間違いなく結果を得ることが出来るという単純な事実と反しない。
そのような干渉は、原因として記述されるのと同時に結果としても記述されるのである。

俗的な確率は一般的な概念からでは得られないことから、機械論における確率性とは全く異なる。
機械論における確率性は、それが作用として見いだされることからも分かる通り、原因として解釈することが可能である。

従って、機械論における確率性は原因であり、俗的な意味での確率はその結果であると結論付けることが出来る。

ただしここで述べた原因結果とは因果的機序における概念であり、要は機械論モデルにおいて横軸的な広がりを持つ事象については同様に理解される。
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